大众都知说念麦克斯韦从麦克斯韦方程组里推导出了电磁波，然后通过缠绵发现电磁波的速率偶合等于光速。于是，麦克斯韦就预言“光是一种电磁波”，这个预言其后被赫兹阐明。

电磁波的发现让麦克斯韦和他的电磁表面走上了神坛，也让东说念主类社会过问了无线电时间。你当今可以随时给迢遥的一又友打电话，能用手机看科学类著作，都跟电磁波有着密切的关系。那么，麦克斯韦到底是何如从麦克斯韦方程组推导出电磁波方程的呢？这篇著作咱们就来一都见证这一遗址的时刻。

01什么是波？

要意会电磁波，最初咱们得了解什么是波？有些东说念主可能以为这个问题有点奇怪，什么是波这还用问么？我丢一块石头到水里，水面上就会酿成一个水波；我抖动一根绳索，绳索上就会就会出现一个波动。糊口中还有许多这种波动格式，我天然念书少，但是什么是波照旧知说念的。

没错，水波、绳索上的波动这些都是波，我在这里抛出“什么是波？”这个问题并不是想来掰指头数一数哪些东西是波，哪些不是，而是想问：整个这些叫作波的东西有什么共同的特征？咱们怎么用一套长入的数学言语来描写波？

咱们考虑物理，即是从万千变化的天然界的多样格式里总结出某种一致性，然后用数学的言语定量、精准的描写这种一致的格式。当今咱们发现了水波、绳索上的波等许多格式都有这样一种波动格式，那咱们天然就要去寻找这种波动格式背后长入的数学轨则，也即是寻找描写波动格式的方程，即波动方程。

为了寻找长入的波动方程，咱们先来望望最粗造的波：抖动一根绳索，绳索上就会出现一个波沿着绳索移动，以恒定的频率抖动就会出现说合络续的波。

为了更好地考虑绳索上的波动，咱们先确立一个坐标系，然后把耀视力聚会到其中的一个波上。于是，咱们就看到一个波以一定的速率v向x轴的正所在（右边）移动，如下图：

那么，咱们该怎么去描写这种波动呢？

最初，咱们知说念一个波是在不竭地移动的，上图仅仅波在某个时刻的神气，它下一个时刻就会往右边移动极少。移动了些许也很好缠绵：因为波速为v，是以Δt时期以后这个波就会往右移动v·Δt的距离。

另外，我非论这个时刻波是什么局势的弧线，归正我可以把它动作一系列的点（x，y）的蚁集，这样咱们就可以用一个函数y=f(x)来描写它（函数即是一种对应（映射）关系，在函数y=f(x)里，每给定一个x，通过一定的操作f(x)就能得到一个y，这一双（x，y）就构成了坐标系里的一个点，把整个这种点连起来就得到了一条弧线）。

然后，y=f(x)仅仅描写某一个时刻的波的局势，若是咱们想描写一个齐全动态的波，就得把时期t沟通进来。也即是说咱们的波形是跟着时期变化的，即：我绳索上某个点的纵坐标y不仅跟横轴x关联，还跟时期t关联，这样的话咱们就得用一个二元函数y=f(x，t)来描写一个波。

这一步很好意会，它无非告诉咱们波是随时期（t）和空间（x）变化的。但是这样还不够，寰宇上到处都是跟着时期、空间变化的东西，比如苹果下跌、篮球在天上飞，它们跟波的内容区别又在哪呢？

02波的内容

仔细想一下咱们就会发现：波在传播的时候，天然不同期刻波所在的位置不一样，但是它们的局势历久是一样的。也即是说前一秒波是这个局势，一秒之后波天然不在这个地方了，但是它依然是这个局势，这是一个很强的逼迫条目。有了这个逼迫条目，咱们就能把波和其它在时期、空间中变化的东西折柳开了。

咱们这样沟通：既然用f(x，t)来描写波，那么波的脱手局势（t=0时的局势）就可以示意为f(x，0)。经过了时期t之后，波速为v，那么这个波就向右边移动了vt的距离，也即是把脱手局势f(x，0)往右移动了vt，那么这个收尾可以这样示意：f(x-vt，0)。

为什么把一个函数的图像往右移动了一段vt，收尾却是用函数的自变量x减去vt，而不是加上vt呢？这是一个中学数学问题，我这里略微帮大众回首一下：你们想，若是我把一个函数图像f(x)往右移动了3，那么我原本在1这个地方的值f(1)，当今就成了4这个地方的函数值。是以，若是你还想用f(x)这个函数，那校服就得用4减去3（这样智商得到f(1)的值），而不是加3（4+3=7，f(7)在这里可莫得什么意旨）。

是以，若是咱们用f(x，t)描写波，那么脱手时刻（t=0）的波可以示意为f(x，0)。经过期期t之后的波的图像就等于脱手时刻的图像往右移动了vt，也即是f(x-vt，0)。于是，咱们就可以从数学上给出波通顺的内容：

也即是说，只须有一个函数得志f(x，t)=f(x-vt，0)，得志率性时刻的局势都等于脱手局势平移一段，那么它就示意一个波。水波、声波、绳索上的波、电磁波、引力波都是如斯，这也很合适咱们对波的直不雅意会。

这里咱们是从纯数学的角度给出了波的一个描写，底下咱们再从物理的角度来分析一下波的酿成原因，望望能不可得到更多的信息。

03张力

一根绳索放在地上的时候是静止不动的，咱们甩一下就会出现一个波动。咱们想一想：这个波是何如传到迢遥去的呢？咱们的手仅仅拽着绳索的一端，并莫得遭受绳索的中间，但是当这个波传到中间的时候绳索如实动了，绳索会动就示意有劲作用在它身上（牛爵爷告诉咱们的兴趣），那么这个力是那处来的呢？

略微分析一下咱们就会发现：这个力只能能来自绳索相邻点之间的相互作用，每个点把我方近邻的点“拉”一下，近邻的点就动了（就跟咱们排队报数的时候只见知你左右的阿谁东说念主一样）这种绳索里面之间的力叫张力。

张力的见解也很好意会，比如咱们使劲拉一根绳索，我明明对绳索施加了一个力，但是这根绳索为什么不会被拉长？跟我的手最近的阿谁点为什么不会被拉动？

谜底天然是这个点独揽的点给这个质点施加了一个相背的张力，这样这个点一边被我拉，另一边被它相近的点拉，两个力的恶果对消了。但是力的作用又是相互的，独揽的点给端点施加了一个张力，那么这个独揽的点也会受到一个来自端点的拉力，关联词这个独揽的点也没动，是以它也势必会受到更里面点的张力。这个经过可以一直传播下去，终末的收尾即是这跟绳索整个的地方都会张力。

何况，咱们还可以料定：若是绳索的质地忽略不计，绳索也莫得打结莫得被拉长，那么绳索里面的张力处处很是（只须有一个点双方的张力不等，那么这个点就应该被拉走了，绳索就会被拉变形），这是个很遑急的论断。

通过上头的分析，咱们知说念了当一根瞎想绳索处于紧绷景色的时候，绳索里面存在处处很是的张力。当一根绳索静止在大地的时候，它处于浮松景色，莫得张力，但是当一个波传到这里的时候，绳索会变成一个波的局势，这时候就存在张力了。恰是这种张力让绳索上的点落魄振动，是以，分析这种张力对绳索的影响就成了分析波动格式的关节。

04波的受力分析

那么，咱们就从处于波动景色的绳索中选拔很小的一段AB，咱们来分析一下这个小段绳索在张力的作用下是怎么通顺的。自在，咱们这里并不会波及什么复杂的物理公式，咱们所需要的公式就一个，大名鼎鼎的牛顿第二定律：F=ma。

牛顿第一定律告诉咱们“一个物体在不受力或者受到的合外力为0的时候会保抓静止或者匀速直线通顺景色”，那么若是合外力不为0呢？牛顿第二定律就接着说了：若是合外力F不为零，那么物体就会有一个加快度a，它们之间的关系就由F=ma来定量描写（m是物体的质地）。也即是说，若是咱们知说念一个物体的质地m，只须你能分析出它受到的合外力F，那么咱们就可以笔据牛顿第二定律F=ma缠绵出它的加快度a，知说念加快度就知说念它接下来要何如动了。

牛顿第二定律就这样把一个物体的受力情况（F）和通顺情况（a）吞并起来了，咱们想知说念一个物体是何如动的，只须去去分析它受到了什么力就行了，是以它牛。

再来看咱们的波，咱们从处于波动景色的绳索里录取很小的一段AB，咱们想知说念AB是何如通顺的，就要分析它受到的合外力。因为不沟通绳索的质地，是以就毋庸沟通绳索的重力，那么，咱们就只须分析绳索AB两头的张力T就行了。

如上图，绳索AB受到A点朝左下方的张力T和B点朝右上方的张力T，何况咱们还知说念这两个张力是很是的，是以才把它都记为T。但是，咱们知说念波动部分的绳索是转折的，那么这两个张力的所在是不一样的，这极少从图中可以相配赫然的看出来。咱们假定A点处张力的所在跟横轴夹角为θ，B点跟横轴的夹角就赫然不一样了，咱们记为θ+Δθ。

因为绳索上的点在波动时是落魄通顺，是以咱们只沟通张力T在落魄方朝上的重量，水闲居朝上的就不沟通了。那么，咱们把AB两点的张力T都瓦解一下，略微用极少三角函数的常识咱们就能发现：A点出朝上的张力为T·sin（θ+Δθ），B点向下的张力为T·sinθ。那么，整个这个词AB段在竖直方朝上受到的协力就等于这两个力相减：F= T·sin（θ+Δθ）-T·sinθ。

好了，按照牛顿第二定律F=ma，咱们需要知说念物体的合外力F、质地m和加快度a，当今咱们一经知说念了合外力F，那么质地m和加快度a呢？

05波的质地分析

质地好说，咱们假定绳索单元长度的质地为μ，那么长度为Δl的绳索的质地即是μ·Δl。

但是，因为咱们取的短长常小的一段，咱们假定A点的横坐标为x，B点的横坐标为x+Δx，也即是说绳索AB在横坐标的投影长度为Δx，那么，当咱们取的绳长相配短的时候，咱们就可以近似用Δx代替Δl，这样绳索的质地就可以示意为：μ·Δx（本来我在沟通这里要不要再解释一下微积分想想，但是一想，会看这篇电磁波篇的，必须是一经提前看了麦克斯韦方程组的积分篇和微分篇，而我在那两篇里一经先容过这种想想了，那这里就不说了~）。

质地管制了，剩下的即是加快度a了。你可能以为我一经得到了合外力（F= T·sin（θ+Δθ）-T·sinθ）和质地m（μ·Δx），那么剩下校服即是用合外力F除以质地m得到加快度a（牛顿第二定律），不不不，这样就不好玩了。咱们还可以从另一个角度来得到加快度a，然后把它们作为拼盘拼起来。从那处得到加快度呢a？从描写波的函数f(x，t)里。

06波的加快度分析

不知说念大众还紧记咱们在前边说的这个描写波的函数y=f(x，t)么？这个函数的值y示意的是在x这个地方，时期为t的时候这极少的纵坐标，也即是波的高度。咱们当今要求的也即是AB落魄波动时的加快度，那么，何如从这个描写点位置的函数里求出加快度a呢？

这里咱们再来意会一下加快度a，什么叫加快度？从名字就可以嗅觉到，这个量是用来斟酌速率变化快慢的。加快度嘛，校服是速率加得越快，加快度的值就越大。假如一辆车第1秒的速率是2m/s，第2秒的速率是4m/s，那么它的加快度即是用速率的差（4-2=2）除以时期差（2-1=1），收尾即是2m/s²。

再往复想一下，咱们是何如求一辆车的速率的？咱们是用距离的差来除以时期差的。比如一辆车第1秒钟距离开端20米，第2秒钟距离开端50米，那么它的速率即是用距离的差（50-20=30）除以时期差（2-1=1），收尾即是30m/s。

不知说念大众从这两个例子里发现了什么莫得？我用距离的差除以时期差就得到了速率，我再用速率的差除以时期差就得到了加快度，这两个经过都是除以时期差。那么，若是我把这两个经过合到一块呢？那是不是就可以说：距离的差除以一次时期差，再除以一次时期差就可以得到加快度？

这样表述并不是很准确，但是可以很浅易的让大众意会这个想想。若是把距离看作对于时期的函数，咱们对这个函数求一次导数（即是上头的距离差除以时期差，只不外趋于无尽小）就得到了速率的函数，对速率的函数再求一次导数就得到了加快度的示意。是以，咱们把一个对于距离（位置）的函数对时期求两次导数，就可以得到加快度的抒发式。

波的函数f(x，t)不即是描写绳索上某极少在不同本领t的位置么？那咱们对f(x，t)求两次对于时期的导数，天然就得到了这点的加快度a。因为函数f是对于x和t两个变量的函数，是以咱们只能时期的偏导∂f/ ∂t，再求一次偏导数就加个2上去。于是咱们就可以这样示意这点的加快度a=∂²f/ ∂t²（对于偏导数的先容，微分篇里有详备表露，这里不再说明）。

这样，咱们就把牛顿第二定律F=ma的三身分都凑都了：F= T·sin（θ+Δθ）-T·sinθ，m=μ·Δx，a=∂²f/ ∂t²。把它们蚁集在一都就可以召唤神，阿不，就可以写出AB的通顺方程了：

这个用牛顿第二定律写出来的波动方程，看起来何如样？嗯，似乎有点丑，看起来也不太清醒，方程左边的东西看着太贫瘠了，咱们还需要对它进行一番校阅。那何如校阅呢？咱们可以先把sinθ给干掉。

07方程的校阅

为了八成获胜地干掉sinθ，咱们先往复顾一下基本的三角函数：

如上图，右边是一个直角三角形abc，那么角θ的正弦值sinθ等于对边c除以斜边a，正切值tanθ等于对边c除以邻边b。

当这个角度θ还很大的时候，a比b要赫然长一些。但是，一花旦度θ相配相配小，可以联想，邻边b和斜边a就将近重合了。这时候咱们是可以近似的认为a和b是很是的，也即是a≈b，于是就有c/b≈c/a，即tanθ≈sinθ。

也即是说，在角度θ很小的时候，咱们可以用正切值tanθ代替正弦值sinθ。咱们假定这跟绳索的扰动相配小，形变相配小，那么θ和θ+Δθ就都相配小，那么它们的正弦值就都可以用正切值代替。于是，阿谁波动方程左边的sin(θ+Δθ)-sinθ就可以替换为：tan(θ+Δθ)-tanθ。

为什么咱们要用正切值tanθ代替正弦值sinθ呢？因为正切值tanθ还可以代表一条直线的斜率，代表弧线在某极少的导数。想想正切值的抒发式tanθ=c/b，若是建一个坐标系，那么这个c刚好即是直线在y轴的投影dy，b即是在x轴的投影dx，它们的比值刚好即是导数dy/dx，也即是说tanθ=dy/dx。

关联词，因为波的函数f(x，t)是对于x和t的二元函数，是以咱们只能求某极少的偏导数，那么正切值就等于它在这个点的偏导数：tanθ=∂f/ ∂x。那么，原本的波动方程就可以写成这样：

这里我略微解释一下偏导数的秀丽，咱们用∂f/ ∂x示意函数f(x，t)的偏导数，这是一个函数，x可以取多样各类的值。但是若是我加一个竖线|，然后在竖线的右下角标上x+Δx就示意我要求在x+Δx这个地方的导数。

再来看一下这个图，咱们一经商定了A点的横坐标为x，对应的角度为θ；B点的横坐标是x+Δx，对应的角度为θ+Δθ。是以，咱们可以用x+Δx和x这两处的偏导数值代替θ+Δθ和θ这两处的正切值tan（θ+Δθ）和tanθ，是以波动方程才可以写成上头那样：

接着，若是咱们再对方程的双方同期除以Δx，那左边就变成了函数∂f/ ∂x在x+Δx和x这两处的值的差除以Δx，这其实即是∂f/ ∂x这个函数的导数抒发式。也即是说，双方同期除以一个Δx之后，左边就变成了偏导数∂f/ ∂x对x再求一次导数，那即是f(x，t)对x求二阶偏导数了。

上头咱们用咱们一经用∂²f/ ∂t²来示意函数对t的二阶偏导数，那么这里天然就可以用∂²f/ ∂x²来示意函数对x的二阶偏导数。然后双方再同期除以T，得到方程就粗略多了：

把方程左边的tan(θ+Δθ)-tanθ变成了函数f(x，t)对空间x的二阶偏导数，这个经过相配的遑急，大众可以好好体会一下这个经过。正切值tanθ即是一阶导数，然后两个正切值的差除以自变量的变化就又产生了一次导数，于是统共就有了两阶，是以咱们智商得到上头阿谁粗略的式子。

08经典波动方程

再望望方程右边的μ/T，若是你仔细去算一下μ/T的单元，你会发现它刚好即是速率的闲居，也即是说若是咱们把一个量界说成μ/T的闲居根，那么这个量的单元刚好即是速率的单元。可以联想，这个速率天然即是这个波的传播速率v：

这样界说速率v之后，咱们最终的波动方程就可以亮相了：

这个方程即是咱们最终要找的经典波动方程，为什么把它作作念佛典的波动方程呢？因为它莫得沟通量子效应啊，在物理学里，经典就短长量子的同义词。若是咱们要沟通量子效应，这个经典的波动方程就没用了，咱们就必须转而使用量子的波动方程，那即是大名鼎鼎的薛定谔方程。

薛定谔即是从这个经典波动方程起程，吞并德布罗意的物资波见解，硬猜出了薛定谔方程。这个方程让物理学家们从被海森堡的矩阵主管的怯怯中自若了出来，再行回到了微分方程的好意思好寰宇。薛定谔方程天然利害，但是它并莫得沟通狭义相对论效应，而高速通顺（近光速）的粒子在微不雅寰宇是很常见的，咱们也知说念当物体接近光速的时候就必须沟通相对论效应，但是薛定谔方程并莫得作念到这极少。

最终让薛定谔方程相对论化是狄拉克，狄拉克把我方关在房间三个月，最终逼出了相通大名鼎鼎的狄拉克方程。狄拉克方程初次从表面上预言了反物资（正电子），天然那时的科学家们认为狄拉克这是在歪缠，江南app体育官网下载但是我国的物理学家赵忠尧先生却简直在同期就初次在履行室里不雅测到了正负电子袪除的情况。

另外，狄拉克的责任也股东了量子场论的出身，掀开了一扇让东说念主无比羡慕的新寰宇大门。物理学家们沿着这条路顺服了电磁力、强力、弱力，确立起了粒子物理的尺度模子，于是四海清平，六合大定，除了那活该的引力。这些精妙绝伦的故事咱们背面再讲，若是把这些故事写成一册《量子硬人传》，嗯，一定不比金庸的武侠失态~

好了，回首正题，看到这个经典波动方程到背面还能掀翻那么大的浪来，是不是一霎就对它骚然起敬了呢？咱们这样一顿操作推导出了经典波动方程，有的一又友可能有点懵，不首要，咱们再来捋一下。这个看着很复杂的，包含了二阶偏导数的方程其实就仅仅告诉咱们：咱们把这跟绳索极小的一段看作一个质点，那么这个质点得志牛顿第二定律F=ma，仅此资料。

09复盘

咱们整个这个词推导经过不外即是去寻找F=ma中的这三个量。咱们把绳索的张力在竖直所在作念了瓦解，然后得到了它在竖直方朝上的协力F（T·sin（θ+Δθ）-T·sinθ）；咱们界说了单元长度的质地μ，然后就可以缠绵那小段绳索的质地m（μ·Δx）；咱们通过对波的函数f(x，t)的分析，发现若是对这种示意距离（位移）的函数对时期求一次偏导数就得到了速率，再求一次偏导数就得到了加快度，于是咱们就得到了这段绳索的加快度a（∂²f/ ∂t²）。然后咱们就把这些量按照牛顿第二定律F=ma拼了起来。

在处理问题的经过中，咱们作念了许多近似：因为咱们是取得很小的一段，那么咱们就可以用Δx近似代替绳索的长度Δl；假定扰动很小，绳索偏离x轴很小，那么角度θ就很小，咱们就近似用正切值tanθ代替正弦值sinθ。许多东说念主乍一看，以为这样严格的推导何如能这样随意的近似呢？你这里近似那里近似，得到的最终收尾照旧准确的么？

要意会这个问题，就得负责去学习微积分了，我当今告诉你微积分的中枢想想即是一种以直代曲的近似，你信么？微积分里即是用多样小段小段的直线去近似的代替弧线，但是得到的收尾却短长常精准的。因为咱们可以把这些线段取得相配相配的小，或者说是无尽小，那么这个谬误也就逐渐变成无尽小了。是以咱们在分析这跟绳索的时候，也都强调了是取相配小的一段，给一个相配小的扰动，得到一个相配小的角度θ。

另外，tanθ即是一次导数，然后它们的差再除以一次Δx，就又出现了一次导数，是以方程的左边就出现了f(x，t)对位置x的两次偏导数。方程的右边即是函数f(x，t)对时期t求两次偏导数得到的加快度a（求一次导数得到速率，求两次就得到加快度）。

是以，天然咱们看到的是一个波动方程，其实它仅仅一个扮装了的牛顿第二定律F=ma。意会这点，波动方程就没什么奇怪的了。咱们再来仔细的扫视一下这个方程：

这个波动方程的意旨也很直不雅，它告诉咱们f(x，t)这样一个随时期t和空间x变化的函数，若是这个二元函数对空间x求两次导数得到的∂²f/ ∂x²和对时期t求两次导数得到的∂²f/ ∂t²之间得志上头的那种关系，那么f(x，t)描写的即是一个波。

若是咱们去解这个方程，咱们得到的即是描写波的函数f(x，t)。而咱们前边对波作念数学分析的时候得到了这样一个论断：若是一个函数f(x，t)描写的波，那么就一定得志f(x，t)=f(x-vt，0)。是以，波动方程的解f(x，t)校服也都得志前边这个关系，这极少感意思意思的一又友可以我方下去评释一下。

好了，经典的波动方程咱们就先讲到这里。有了波动方程，你会发现咱们通过几步粗造的运算就能从麦克斯韦方程组中推导出电磁波的方程，然后还能详情电磁波的速率。

10真空中的麦克斯韦方程组

麦克斯韦方程组的微分局势是这样的：

这组方程的世代相承之前一经作念了详备的先容，这里不再多说。这组方程里，E示意电场强度，B示意磁感应强度，ρ示意电荷密度，J示意电流密度，ε0和μ0分别示意真空中的介电常数和磁导率（都是常数），▽是矢量微分算子，▽·和▽×分别示意散度和旋度：

接下来咱们的任务，即是看怎么从这组方程里推出电磁波的方程。

最初，若是真的能酿成波，那么这个波校服就要往传奇，在远隔了电荷、电流（也即是莫得电荷、电流）的地方它还能我方传播。是以，咱们先让电荷密度ρ和电流密度J都等于0，当ρ=0，J=0时，咱们得到的即是真空中的麦克斯韦方程组：

有些东说念主以为你何如能让电荷密度ρ等于0呢？这样第一个方程就成了电场的散度▽·E=0，那不就等于说电场强度E等于0，莫得电场了么？莫得电场还何如来的电磁波？

许多东说念主入门者都会有这样一种诬蔑：好像以为电场的散度▽·E等于0了，那么就莫得电场了。其实，电场的散度等于0，仅仅告诉你通过包含这极少的无尽小曲面的电通量为0，电通量为0不代表电场E为0啊，因为我可以出入这个曲面的电通量（电场线的数目）很是。这样有些许正的电通量（进去的电场线数目）就有些许负的电通量（出来的电场线数目），出入正负对消了，是以总的电通量照旧0。于是，这点的散度▽·E就可以为0，而电场强度E却不为0。

是以这个大众一定要折柳明晰：电场E的散度为0不代表电场E为0，它仅仅要求电通量为0资料，磁场也一样。

这样咱们再来扫视一下真空中（ρ=0，J=0）的麦克斯韦方程组：方程1和2告诉咱们真空中电场和磁场的散度为0，方程3和4告诉咱们电场和磁场的旋度等于磁场和电场的变化率。前两个方程都是寂寞的描写电和磁，后两个方程则是电和磁之间的相互关系。咱们隐缺乏约也能嗅觉到：若是要推导出电磁波的方程，你校服得把上头几个式子空洞起来，因为波是要往传奇的，而你上头单独的方程都仅仅描写某极少的旋度或者散度。

有一个很粗造的把它们都空洞在一都的要领：对方程3和方程4双方同期再取一次旋度。

方程3的左边是电场的旋度▽×E，对它再取一次旋度就变成了▽×（▽×E）；方程3的右边是磁场的变化率，对右边取一次旋度也可以得到磁场B的旋度▽×B，这样不就刚好跟方程4接洽起来了么？对方程4双方取旋度看起来也一样，这看起来是个可以的兆头。

可能有些一又友会有一些疑问：你凭什么对方程3和4的双方取旋度，而不取散度呢？若是感意思意思你可以双方都取散度试试，你会发现电场E的旋度取散度▽·（▽×E）的收尾恒等于0。

这极少你看方程3 的右边会更明晰，方程3的右边是磁场的变化率，你若是对方程左边取散度，那么右边也得取散度，而右边磁场的散度是恒为0的（▽·B=0即是方程2的内容）。这样就得不出什么特意旨的收尾，你算出0=0能得到什么呢？

是以，咱们当今的问题变成了：怎么求电场E的旋度的旋度（▽×（▽×E））？因为旋度毕竟和叉乘密切关联，是以咱们照旧先来望望叉乘的叉乘。

11叉乘的叉乘

在积分篇和微分篇里，我一经跟大众详备先容了矢量的点乘和叉乘，何况咱们还知说念点乘的收尾A·B是一个标量，而叉乘的收尾A×B是一个矢量（所在可以用右手定章来判断，右手从A指向B，大拇指的所在即是A×B的所在）。

而点乘和叉乘都是矢量之间的运算，那么A·B的收尾是一个标量，它就不可再和其它的矢量进行点乘或者叉乘了。但是，A×B的收尾仍然是一个矢量啊，那么按照兴趣它还可以不绝跟新的矢量进行点乘或者叉乘运算，这样咱们的运算就可以有三个矢量参与，这种收尾咱们就称为三重积。

A·（B×C）的收尾是一个标量，是以这叫标量三重积；A×（B×C）的收尾照旧一个矢量，它叫矢量三重积。

标量三重积A·（B×C）其实很粗造，我在微分篇说过，两个矢量的叉乘的大小等于它们构成的平行四边形的面积，那么这个面积再和一个矢量点乘一把，你会发现这刚好即是三个矢量A、B、C构成的平行六面体的体积。

这个大众对着上头的图略微一想就会明白。何况，既然是体积，那么你随意更换它们的要领校服都不会影响最终的收尾。咱们真实要要点沟通的，照旧矢量三重积。

矢量三重积A×（B×C），跟咱们上头说电场E旋度的旋度▽×（▽×E）局势相近，密切关联。它莫得上头标量三重积那样粗造直不雅的几何意旨，咱们好像只能从数学上去推导，这个推导经过，哎，我照旧径直写收尾吧：

A×（B×C）=B（A·C）-C（A·B）。

收尾是这样个东西，是不是很丢脸？嗯，如实有点丑。不外记这个公式有个粗造的口诀：纵横阖捭。什么叫纵横阖捭呢？往日秦相范雎，啊不，A×（B×C）里的A距离B近一些，距离C远一些，是以A要合股C（A·C前边的合适是正号）攻打B（A·B前边的秀丽是负号），这样这个公式就好记了，感意思意思的可以我方去完成推导的经过。

12旋度的旋度

有了矢量三重积的公式，咱们就来不识时务，来套一套电场E的旋度的旋度▽×（▽×E）。咱们对比一下这两个式子A×（B×C）和▽×（▽×E），好像只须把A和B都换成▽，把C换成E就行了。那么，矢量三重积的公式（A×（B×C）=B（A·C）-C（A·B））就变成了：

▽×（▽×E）=▽（▽·E）-E（▽·▽）。

嗯，▽（▽·E）示意电场E的散度的梯度，散度▽·E的收尾是一个标量，标量的梯度的特意旨的，但是背面阿谁E（▽·▽）是什么鬼？两个▽算子挤在一都，中间照旧一个点乘的秀丽，看起来好像是在求▽的散度（▽·），然而▽是一个算子，又不是一个矢量函数，你何如求它的散度？何况两个▽前边有一个电场E，何如E还跑到▽算子的前边去了？

咱们再看一下矢量三重积的公式的背面一项C（A·B）。这个式子的兴趣是矢量A和B先进行点乘，点乘的收尾A·B是一个标量，然后这个标量再跟矢量C相乘。很昭着的，若是是一个标量和一个矢量相乘，那么这个标量放在矢量的前边背面都无所谓（3C=C3），也即是说C（A·B）=（A·B）C。

那么，相通的，E（▽·▽）就可以换成（▽·▽）E，而它还可以写成▽²E，这样就攀扯出了另一个大名鼎鼎的东西：拉普拉斯算子▽²。

13拉普拉斯算子▽²

拉普拉斯算子▽²在物理学界可谓大名鼎鼎，它看起来好像是哈密顿算子▽的闲居，其实它的界说是梯度的散度。

咱们假定空间上极少（x，y，z）的温度由T（x，y，z）来示意，那么这个温度函数T（x，y，z）即是一个标量函数，咱们可以对它取梯度▽T，因为梯度是一个矢量（梯度有所在，指向变化最快的阿谁所在），是以咱们可以再对它取散度▽·。

咱们应用咱们在微分篇学的▽算子的张开式和矢量坐标乘法的规矩，咱们就可以把温度函数T（x，y，z）的梯度的散度（也即是▽²T）示意出来：

再对比一下三维的▽算子：

是以，咱们把上头的收尾（梯度的散度）写成▽²也短长常容易意会的，它跟▽算子的辞别也即是每项多了一个闲居。于是，拉普拉斯算子▽²就天然可以写成这样：

从拉普拉斯算子▽²的界说咱们可以看到，似乎它只能对作用于标量函数（因为你要先取梯度），但是咱们把▽²略微扩展一下，就能让它也作用于矢量函数V（x，y，z）。咱们只须让矢量函数的每个重量分别去取▽²，就可以界说矢量函数的▽²：

界说了矢量函数的拉普拉斯算子，咱们略微明慧一下底下的这个论断（课下我方去评释）：

然后再望望中间的阿谁东西，是不是有点眼熟？

咱们在求电场旋度的旋度的时候，不就刚好出现了（▽·▽）E这个东西么？当今咱们就可以气壮理直地把它替换成▽²E了，于是，电场旋度的旋度就可以写成这样：

▽×（▽×E）=▽（▽·E）-（▽·▽）E=▽（▽·E）-▽²E。

至此，咱们应用矢量的三重积公式推电场E的旋度的旋度的经过就罢了了，然后咱们就得到了这个极其遑急的论断：

它告诉咱们：电场的旋度的旋度等于电场散度的梯度减去电场的拉普拉斯。有了它，电磁波的方程立马就可以推出来了。

14见证遗址的时刻

咱们再来望望真空中的麦克斯韦方程组：

它的第三个方程，也即是法拉第定律是这样示意的：

咱们对这个公式双方都取旋度，左边即是上头的论断，右边无非即是对磁感应强度B取个旋度，即：

你望望这几项，再望望真空中的麦克斯韦方程组：方程1告诉咱们▽·E=0，方程4告诉咱们▽×B=μ0ε0（∂E/ ∂t），咱们把这两项代入到上头的式子中去，那收尾天然就变成了：

μ0、ε0都是常数，那右边天然就变成了对电场E求两次偏导。再把负号整理一下，终末的式子即是这样：

嗯，于是咱们就神奇般的把磁感应强度B消掉了，让这个方程只包含电场E。咱们再对比一下咱们之前罗唆了那么多得出的经典波动方程：

咱们在推导经典波动方程的时候只沟通了一维的情况，因为咱们只沟通波沿着绳索这一个维度传播的情况，是以咱们的收尾里只须∂²f/ ∂x²这一项。若是咱们沟通三维的情况，那么不难联想波动方程的左边应该写成三项，这三项刚好即是f的三维拉普拉斯：

是以咱们的经典波动方程其实可以用拉普拉斯算子写成如下更普适的局势：

再望望咱们刚刚从麦克斯韦方程组中得到的电场方程：

嗯，咱们推出的电场的方程跟经典波动方程的局势是一模一样的，当今咱们说电场E是一个波，你还有任何异议么？

咱们把电场E变成了一个寂寞的方程，代价是这个方程变成了二阶（方程出现了闲居项）的。对于磁场，一样的操作，咱们对真空中麦克斯韦方程组的方程4（▽×B=μ0ε0（∂E/ ∂t））双方取旋度，再叠加一次上头的经过，就会得到寂寞的磁感应强度B的方程：

这样，咱们就发现E和B都得志波动方程，也即是说电场、磁场都以波动的局势在空间中传播，这天然即是电磁波了。

15电磁波的速率

对比一下电场和磁场的波动方程，你会发现它们是局势是一模一样的（即是把E和B互换了一下），这样，它们的波速也应该是一样的。对比一下经典波动方程的速率项，电磁波的速率v天然即是这样：

咱们去查一下μ0、ε0的数值，μ0=4π×10^-7N/A²，ε0=8.854187818×10^ -12 (F/m)，代入进去算一算：

再查一下真空中的光速 c=299792458m/s。

前者是咱们从麦克斯韦方程组算出来的电磁波的速率，后者是从履行里测出来的光速。有这样的数据作念支抓，麦克斯韦往日才敢果敢的推测：光即是一种电磁波。

天然，“光是一种电磁波”在咱们当今看来并不特等，但是你回首一下历史：科学家们是在考虑多样电格式的时候引入了真空介电常数ε0，在考虑磁铁的时候引入了真空磁导率μ0，它们根底就跟光无关。麦克斯韦基于表面的好意思学和他惊东说念主的数学智商，冷落了位移电流假说（从推导里咱们也可以看到：若是莫得麦克斯韦加入的位移电流这一项，是不会有电磁波的），预言了电磁波，然后发现电磁波的速率只跟μ0、ε0关联，还刚好就等于东说念主们测量的光速，这怎么能不让东说念主恐慌？

麦克斯韦一直以为我方在考虑电磁表面，但是当他的电磁大厦落成时，他却有时地发现光的问题也被顺遂解决了，原本他一直在盖的是电磁光大厦。搞表面考虑还可以买二送一，打折促销力度如斯之大，惊不惊喜，意不料外？

总之，麦克斯韦信赖我方的方程，信赖光是一种电磁波，当赫兹最终在履行室里发现了电磁波，并阐明它的速率如实等于光速之后，麦克斯韦和他的表面赢得了无上的荣耀。爱因斯坦其后却因为不太信赖我方的方程（认为六合不可能在延迟）转而去修改了它，于是他就错失了预言六合延迟的契机。当其后哈勃用千里镜不雅测到六合如实在延迟时，爱因斯坦为此颓丧不已。

16结语

回首一下电磁波的推导经过，咱们即是在真空麦克斯韦方程组的方程3和方程4的双方取旋度，然后就很天然的得出了电磁波的方程，然后得到了电磁波的速率等于光速c。这里有一个很关节的问题：这个电磁波的速率是相对谁的？相对哪个参考系而言的？

在牛顿力学里，咱们说一个物体的速率，校服是相对某个参考系而言的。你说高铁的速率是300km/h，这是相对大地的，你相对太阳那速率就大了。这个兴趣在咱们前边征询的波那里也一样，咱们说波的速率一般都是这个波相对于它所在介质的速率：比如绳索上的波通过绳索传播，这个速率即是相对于绳索而言的；水波是在波在水里传播，那么这个速率即是相对水而言的；声波是波在空气里传播（真空顺耳不到声息），声波的速率就天然是相对空气的速率。

那么，电磁波呢，从麦克斯韦方程组推导出的电磁波的速率是相对谁的？水？空气？昭着都不是，因为电磁波并不需要水或者空气这种实体介质智商传播，它在真空中也能传播，否则你是何如看到太阳光和六合深处的星光的？何况咱们在推导电磁波的经过中也根本莫得预设任何参考系。

于是那时的物理学家们就假定电磁波的介质是一种遍布空间的叫作“以太”的东西，于是大众脱手去寻找以太，但是何如找都找不到。另一方面，电磁波的发现极大地支抓了麦克斯韦的电磁表面，但是它跟牛顿力学之间却存在着根本矛盾，这种情况像极了当今广义相对论和量子力学之间的矛盾。何如办呢？

1879年，麦克斯韦物化，同庚，爱因斯坦降生，这仿佛是两代伟东说念主的一个顶住典礼。麦克斯韦电磁表面与牛顿力学之间的矛盾，以及“以太”这个大坑都被年青的爱因斯坦管制了，爱因斯坦管制它们的要领即是大名鼎鼎的狭义相对论。其实，当麦克斯韦把他的电磁表面冷落来之后，狭义相对论的问世就简直是势必的了，因为麦克斯韦的电磁表面其实即是狭义相对论框架下的表面，这亦然它跟牛顿力学突破的中枢。是以，爱因斯坦才会把他狭义相对论的论文取名为《论动体的电能源学》。

麦克斯韦的电磁表面罢了了一个时间，却又开启了一个新时间（相对论时间），它跟牛顿力学到底有什么矛盾？为什么非得狭义相对论智商解决这种矛盾？这些将是我背面要征询的要点。我会竭力让大众看到科学的发展有它清醒的内在逻辑和原因，并不是谁拍拍脑袋就冷落一个震天动地的新表面出来的。

此外，电磁表面和牛顿力学的和会是东说念主类解决两个相配奏效却又径直突破表面的一次相配贵重的栽植，这跟咱们当今濒临的问题（广义相对论和量子力学的突破）相配访佛。我但愿八成通过这种表露给可爱科学的少年们一些启示，让他们以背面对广义相对论和量子力学突破的时候，八成有一些灵感。

嗯，没错，我在期待将来的爱因斯坦~